目录
❡前言
❡九宫格金字塔
✥从记忆战场说开去
✥眼见为实？
❡奇形怪状，但是更真实
✥把肝度也考虑进去
✥适用范围-条件de
✥条件abc
✥推而广之
❡其他推论
❡前言
最近分析了一下崩坏3的记忆战场，总结出了一张个人非常喜欢的示意图。接下来结合图示给大伙儿展示一下。
❡九宫格金字塔
✥从记忆战场说开去
崩坏3的记忆战场里，存在根据排名计算的每周奖励。分为~0.10%，~1.30%，~5.00%，~12.50%，~25.00%，~50.00%六档。
如果每2档视为一个层级，则可分为头部，中部，和尾部层级。
很显然，头部层级玩家数量最少，中部层级数量普通，尾部层级数量最大，符合金字塔状分布。
而玩家的付费情况则呈现出二八定律。少量大R贡献了游戏大部分的（充值）收入，而其余大部分人则贡献了一小部分（充值）收入。
于是，在金字塔图示的基础上，我从左下角的顶点引出两条线，将金字塔【斜向】划分为大小递增的三份，如下图所示。
注：为了图示清晰，头部层级被刻意画得更大，但不影响说明。
✥眼见为实？
可以看到，“头部-中部-尾部”与“大R-中R-小R/免费玩家”相交，划分出了9种不同的情况。我们可以用小键盘上的数字来标号，进行类比，方便接下来的说明：
147，258，369也就是小键盘上的纵列，分别代表着大R，中R，小R/免费玩家。
而789，456，123也就是小键盘上的横排，分别代表着头部，中部，和尾部层级。
很明显，9号格代表着在头部层级中，小R/免费玩家数量很少。而看3号格会发现，它正好契合了在尾部层级中，小R/免费玩家最多的情况。
即：灰色的369区域，小R/免费玩家呈正金字塔形分布，层级越低，数量越多。其中占比最多的是尾部层级（3号格）。
而橙色的147区域，大R玩家呈倒金字塔形分布，层级越低，数量越少。其中占比最多的是头部层级（7号格）。
至于中R玩家，其中占比最多的是中部层级（5号格）。
但是这只是根据图中形状所作出的粗略判断。是否正确呢？我们需要更准确的方法。
❡奇形怪状，但是更真实
✥把肝度也考虑进去
现在，我想让这幅图示更为严谨一些。
首先，和所有金字塔状分布一样，图中的【面积】直观反映了【数量】的大小，二者成正比。
其次，小R/免费玩家，中R，大R，这一顺序是沿逆时针方向排布的。即，氪金程度随着弧度的增加而增加。因此可以考虑在极坐标系中进行讨论，以弧度（极角，也就是(r, θ)中的θ）表示氪金量。
最后，肝度能够一定程度上替换氪金程度。即：肝度和氪度之间存在转化关系。因此，可以用二维极坐标系的另一个量——极径r，来表示肝度。
上一大节中的金字塔，被转换为下图的扇形：
与ox轴重合的扇形半径表示免费玩家，而与of轴接近的半径表示充值数量巨大的玩家。
玩家的数量有限，但充值金额没有上限，因此表示弧度（氪金量）的刻度越来越密。
目前我们有以下三个条件：
a. 玩家数量上，头部层级<中部层级<尾部层级；
b. 玩家数量上，大R<中R<小R或免费玩家，但充值钱数并没有上限；
c. 氪金和肝度（玩家频率）在一定程度上可以互相替换。
✥适用范围-条件de的推论
虽然我尊重每一种游戏生态，但诸如传奇类“充钱就是爷”，“免费玩家必然被吊打”的游戏，不会被纳入本文的讨论范畴。
而付费不影响 平衡性/战斗数值 的纯竞技类游戏，其层级划分与氪金量之间，没啥关系，也就不讨论了。
一般的手游同样会照顾到小R/免费玩家。即：
d. 免费玩家也有机会达到头部层级；
e. 即便是大R玩家，在接近0练度时也只能待在尾部层级。
条件d. 产生了点M1，点N1；
条件e. 产生了点M2，点N2。
它们拉扯着原本金字塔中，两条水平的【层级分割线】两端向下弯曲，形成了新的层级分割线M1M2，和N1N2，最终的分布如下图所示。
大R，中R和小R/免费玩家仍旧可以通过“径向划分”的方式来表示，具体可以参考最后一个大节中的插图。
✥条件abc的推论
c.
任取一个角度作一条射线，与M1M2交于P点。oP代表了在这个付费水平上，达到中部层级所需要的最低肝度。
而免费玩家进入中部层级的最低肝度为oM1。oM1与oP的长度之差FM1，代表了通过付费所节约的肝度。
事实上，【层级分割线M1M2与N1N2，必然是内收的】，也就是呈向内（o点）收敛的螺旋状。只有这样，在付费玩家达到与免费玩家同一层级时，付出的肝度才会更少。
如果它们是向外发散的，会使得oP的长度大于oM1，也就是“付费玩家反而需要付出更多肝度才能赶上免费玩家”，明显与事实相悖。
a.
三个层级存在显著的面积差异。由于层级分割线是内收的，因此M1，N1需要十分接近于外圈，才能保证尾部层级的面积显著大于中部，且中部层级面积显著大于头部。
具体的原因涉及到积分的知识，就不细说了。
b.
充值金额并没有上限，也就是范围为[0, +∞）。为了在有限的图片面积内直观表示这一点，我们将氪金量的极限表示在of轴。越趋近于of轴，单位弧度表示的氪金量越高。
可以把ox与of夹出的扇形想象为一个量角器。与普通量角器不同的是，从ox到of，刻度越来越密，在of处刻度趋于无穷密集。
至此，通过abcde这五个条件，我们确定了 氪金/肝度 与层级划分之间的关系，也就是图中所有元素的形状。
✥推而广之
不同的游戏中，M1，N1，M2，N2的位置可能会有些许差别，但是函数的趋势（形状）是对一般手游都适用的。因为此函数图由以下五个基础条件推出：
a. 玩家数量上，头部层级<中部层级<尾部层级（三层的面积）;
b. 玩家数量上，大R<中R<小R或免费玩家，但充值钱数并没有上限（极角“刻度”逐渐密集）;
c. 氪金和肝度在一定程度上可以互相替换（层级分割线不断内收的趋势）;
d. 免费玩家也有机会达到头部层级（点M1，点N1）;
e. 即便是大R玩家，在接近0练度时也只能待在尾部层级（点M2，N2）。
只要是符合以上5个条件的手游，其氪金/肝度与层级划分之间的关系，就符合以上图示。
❡其他推论
可以发现：
随着氪金程度由0不断升高，半径从ox轴扫到of轴，在同一氪金值（同一条半径）上，“占比最多的层级（由红色线段表示）”由尾部层级逐渐变为中部层级，最后变为头部层级。
验证了第一大节末尾的三条猜想。
在of轴附近，两条层级分割线的M2端和N2端【急剧内收】，即：大量的付费能够让大R玩家轻松进入头部层级。
oM2代表了“最小所需肝度”。即便是充值接近无穷大的玩家，如果没有达到这个最小肝度，也只能处于尾部层级（比如装备和技能都不强化）。
oM2上趋近于o点的部分，可以看作氪金很多，却不玩这个模式的玩家。
理论上，是可以用均匀的弧度表示氪金量的，但那会使得图形一层又一层地无限重叠，并呈现出贝壳螺纹状的内收螺旋。条件c. 决定了层级分割线“内收”的特性。
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